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sabato 5 dicembre 2015

Il miracolo dell'Armonia Universale



I NUMERI DI FIBONACCI E LA SEZIONE AUREA

Leonardo da Pisa detto Fibonacci (filius Bonacci) era figlio dell'addetto alla dogana di Bogia, in Algeria, ove i Pisani intrattenevano fiorenti traffici commerciali. Egli visse tra il 1170 ed il 1250. 
In quella città ebbe frequenti contatti con i matematici mussulmani e lì completò le sue conoscenze matematiche.
Molti furono i suoi contributi al progresso di questa scienza, ma il suo nome è essenzialmente legato alla famosa successione di numeri che porta il suo nome. La sua opera principale fu il Liber Abaci.
Egli ebbe anche frequenti contatti epistolari con l'imperatore Federico II.
Questa è la famosa successione ed i suoi termini vengono chiamati appunto "Numeri di Fibonacci":

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 .......

I primi due termini della successione sono 1 ed 1. Tutti gli altri termini sono la somma dei due termini che li precedono:

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 1 + 1 = 2
F4 = 2 + 1 = 3
F5 = 3 + 2 = 5
F6 = 5 + 3 = 8
F7 = 8 + 5 = 13
F8 = 13 + 8 = 21
F9 = 21 + 13 = 34
.............................
ed in generale:

F(n) = F(n-2) + F(n-1)

Una proprietà notevolissima di questi numeri è che il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero 1.61803398874989.....
Questo numero è la famosa Sezione Aurea (o Numero Aureo) ed il suo valore corrispode all'espressione:

1 + radice quadrata di 5
————————————— = 1.61803398874989.....
2

Ad esempio:

377
—— = 1.618025751
233

610
—— = 1,618037135
377

987
—— = 1,618032787
610

Dunque, per n tendente all'infinito: F(n)/F(n-1) = 1.61803398874989.....

Questo numero "magico" era conosciuto fin dall'antichità ed è certo che lo conoscessero Pitagora ed i suoi discepoli che lo chiamavano "Proporzione Divina". Essi lo ricavavano con un procedimento che corrisponde alla attuale soluzione dell'equazione di secondo grado: x² -- x -- 1 = 0
Nella civiltà Greca troviamo l'uso della sezione aurea nel Partenone di Atene, nel tempio di Atena a Paestum, nelle statue di Fidia, solo per citare le opere più note.
Troviamo poi la sezione aurea nel famoso "Uomo Vitruviano" di Leonardo da Vinci e nella Venere del Botticelli.
I costruttori delle Cattedrali Medioevali usavano costantemente la sezione aurea.
Anche la natura sembra prediligere i numeri di Fibonacci: il rapporto tra l'altezza di un essere umano e l'altezza da terra dell'ombelico è la sezione aurea, così come il rapporto tra il braccio e l'avanbraccio.
Troviamo questi numeri anche nella fillotassi (ordinamento delle foglie su un gambo) e nel girasole, ma, ripeto, questi sono solo esempi.
Per quanto riguarda la Musica, aggiungo delle considerazioni dell'amica Barbara Barotti:
La musica ha numerosi legami con la matematica e si ritiene che centrale in essa sia il ruolo della Sezione Aurea.
Nel pianoforte per esempio, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci.
I 13 tasti delle ottave, distinti in 8 bianchi e 5 neri, a loro volta divisi in gruppi da 2 e 3 tasti ciascuno: 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti alla successione di Fibonacci.
In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali "naturali" sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una "sesta maggiore" di "La" e "Do" 5/3, una "sesta minore" di "Do" e "Mi" 8/5......)
Beethoven, nelle "33 variazioni sopra un valzer di Dabelli" suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci, il cui rapporto corrisponde al numero d'oro...

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